Exercícios sobre cônicas - Geometria Analítica
I) RESUMO SOBRE CÔNICAS
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A) ELIPSE
Chama-se elipse o conjuntos de ponto P(x,y) tal que PF2 + PF1 = 2a onde F2 e F1 são os focos da elipse.
1) Elipse tranladada da origem 2) Elipse centrada na origem
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1.1) Equação da elipse 2.1) Equação da elipse
a) Focos no eixo x' a) focos no eixo x
(x - xo)2 (y - yo)2 x2 y2———— + ——— = 1 —— + —— = 1 a2 b2 a2 b2b) Focos no eixo y' b) Focos no eixo y
(x - xo)2 (y - yo)2 x2 y2———— + ——— = 1 —— + —— = 1 b2 a2 b2 a2-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1.2) Eixos da elipse 2.2) Eixos da elipse
a) Focos no eixo x' a) Focos no eixo x
2a = eixo maior 2a = eixo maior
2b = eixo menor 2b = eixo menor
b) Focos no eixo y' b) Focos no eixo y
2a = eixo maior 2a = eixo maior
2b = eixo menor 2b = eixo menor
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1.3) Relação entre os eixos 2.3) Relação entre os eixos
a2 = b2 + c2 a2 = b2 + c2
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1.4) Excentricidade 2.4) Excentricidade
c c e = — e = — a a-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1.5) Centro da elipse 2.5) Centro da elepse
C(xo , yo) C(0 , 0)
1.6) Focos da elipse 2.6) Focos da elipse
a) Focos no eixo x' a) Focos no eixo x
F2(xo - c , yo) e F1(xo + c , yo) F2( - c, 0) e F1(c, 0)
b) Focos no eixo y' b) Focos no eixo y
F2(xo , yo - c) e F1(xo , yo + c) F2(0, - c) e F1(0, c)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------B) HIPÉRBOLE
Chama-se hipérbole o conjuntos de ponto P(x,y) tal que PF2 – PF1 = 2a onde F2 e F1 são os focos da hipérbole.
1) Hipérbole tranladada da origem 2) Hipérbole centrada na origem
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1.1) Equação da hipérbole 2.1) Equação da hipérbole
a) Focos no eixo x' a) focos no eixo x
(x - xo)2 (y - yo)2 x2 y2———— – ——— = 1 —— – —— = 1 a2 b2 a2 b2b) Focos no eixo y ' b) Focos no eixo y
(y- yo)2 (x - xo)2 y2 x2———— – ——— = 1 —— – —— = 1 a2 b2 a2 b2----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1.2) Eixos da Hipérbole 2.2) Eixos da Hipérbole
a) Focos no eixo x' a) Focos no eixo x
2a = eixo real 2a = eixo real
2b = eixo imaginário 2b = eixo imaginário
b) Focos no eixo y ' b) Focos no eixo y
2b = eixo real 2b = eixo real
2a = eixo imaginário 2a = eixo imaginário
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1.3) Relação entre os eixos 2.3) Relação entre os eixos
c2 = a2 + b2 c2 = a2 + b2
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1.4) Excentricidade 2.4) Excentricidade
c c e = — e = — a a-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1.5) Centro 2.5) Centro C(xo , yo) C(0 , 0) 1.6) Focos da hipérbole 2.6) Focos da hipérbole a) Focos no eixo x' a) Focos no eixo x F2(xo - a- c , yo) e F1(xo + a + c , yo) F2( -a- c, 0) e F1(a + c, 0)b) Focos no eixo y' b) Focos no eixo y
F2(x0 , yo -b - c) e F1(xo , yo + b+ c) F2(0, - b- c) e F1(0, b + c)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- C) PARÁBOLA Chama-se parábola o conjunto de pontos P(x,y) tal que d(P,F )= d(P,d) onde d é a reta diretriz e F é o foco.1) Parábola tranladada da origem 2) Parábola centrada na origem
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1.1) Equação da parábola 2.1) Equação da parábola
a) Foco no eixo x' a) foco no eixo x
(y - yo)2 = 4c(x - xo) y2 = 4cx
(y - yo)2 = – 4c(x - yo) y2 = – 4cx
b) Foco no eixo y' b) Foco no eixo y (x - xo)2 = 4c(y - yo) x2= 4cy(x - xo)2 = – 4c(y - yo) x2 = – 4cy
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1.2) Vértice 2.2) Vértice
V(xo , yo) V(0,0)
1.3) Foco da parábola 2.3) Foco da parábola
a) Foco no eixo x' a) Foco no eixo x
F(xo + c , yo) ou F(xo - c , yo) F( c, 0) ou F(- c, 0)
b) Foco no eixo y' b) Foco no eixo y
F(xo , yo +c) ou F(xo , yo - c) F(0, c) ou F(0, - c)
II) EXERCÍCIOS DE VERIFICAÇÃO DA APRENDIZAGEM
1) Determine as coordenadas dos focos, do centro, a excentricidade, o gráfico e o comprimento dos eixos maior e menor das elipses abaixo:
a) 2x2 + y2 - 6x + 4y + 12 = 0
b) 3x2 + y2 - 16x + 8y + 7 = 0
c) 2x2 + 3y2 - 10x + 6y + 5 = 0
d) x2 + 5y2 - 6x + 12 = 0
e) 2x2 + 4y2 - 6x + 8y + 2 = 0
2) Determine as coordenadas dos focos, do centro, dos vértices, a excentricidade, o gráfico e o comprimento dos eixos real e imaginário das hipérboles abaixo:
a) 2x2 - y2 - 6x - 44y + 3 = 0
b) 3x2 - y2 - 9x + 8y + 8 = 0
c) x2 - 3y2 + 3x + 6y + 15 = 0
d) 2x2 - 5y2 - 6x + 12 = 0
e) 2x2 - 4y2 - 4x + 12y + 12 = 0
f) 5x2 - y2 + 18y +11 = 0
3) Determine as coordenadas do foco, do vértice, o gráfico e a equação da reta diretriz das parábulas de equações abaixo:
a) x2 + 7x - 3y + 9 = 0
b) 2x2 + 8x - 6y + 2 = 0
c) y2 + 10x - 5y + 3 = 0
d) y2 - 4y + 4x + 5 = 0
e) y2 + 12y + 2x + 1 = 0
4) As coordenadas dos focos de uma elípse são F1(-6,0) e F2(6,0) e o comprimento do eixo mairor é 20. Determine:
a) a equação b) a excentricidade c) o eixo menor
5) As extremidades do eixo menor de uma elipse são os pontos B1(-4,0) e B2(4,0) e um dos focos é F(0,-3). Determinar:
a) a equação b) a excentricidade c) o eixo maior
6) Calcule as coordenadas dos focos, o centro, as coordenadas das extremidades, o comprimento dos eixos maior e menor, a excentricidade, o gráfico de cada uma das elipses abaixo e a área da região limitada por elas.
. (x - 4)2 (y + 3)2 (x + 8)2 (y - 5)2 x2 y 2 x 2 y 2a) ———— + ———— = 1 b) ——— + ——— = 1 c) ——— + ——— = 1 d) —— + —— = 1 100 64 9 25 81 36 4 9 . 7) Calcule as coordenadas dos vértices, as coordenadas dos focos, o comprimentos dos eixos real e imaginário, a excentricidadee o gráfico de cada uma das hipérboles abaixo:. (x + 2) 2 (y - 6) 2 (y - 7) 2 (x - 3) 2 x 2 y 2 y 2 x 2 a) ————- – ———— = 1 b) ———— – ———— = 1 c) —— – —— = 1 d) ——— - —— = 1 64 36 25 16 100 64 36 16 . 8) A equação da curva abaixo pode ser a equação de uma elipse ou a equação da circunfência no plano (xy):. x2 y2——— + ———— = 1. Calcule o valor de k para que a referida equação torne-se: k - 4 2k - 20. a) a equação de uma circunferência;. b) a equação de uma elipse com as coordenadas dos focos no eixo x. c) a equação de uma elipse com as coordenadas dos focos no eixo y . 9) As equações x2 + 3y2 - 8x - 12y - 24 = 0 e y = x - 2 elas interceptam -se nos pontos A e B. Determine o comprmento AB, as coordenadas dos focos da elipse e a sua área.
