Resumo e exercícios de geometria espacial
I) RESUMO
1º) Prismas
A) Prismas regulares
| Descrição | Área da base | Apótema | Área da face | Área lateral | Área total | Volume |
| Base triangular regular | L2 √3AB = ——— 4 | L√3m =—— 6 | AF = L. h | AL = 3AF | AT= 2AB + AL | V= AB.h |
| Base quadrangular | AB = L2 | Lm = —— 2 | AF = L. h | AL = 4AF | AT= 2AB + AL | V= AB.h |
| Base hexagonal regular | 6L2 √3A = ——— 4 | L√3m =—— 2 | AF = L. h | AL = 6AF | AT= 2AB + AL | V= AB.h |
= aresta da base h = altura m = apótema da base
B) Prismas especiais
| Descrição | Diagonal | Área lateral | Área total | Volume |
| Paralelepípedo | D2 = a2 + b2 + c2 | AL = a(ab + bc) | AT = a(ab + ac + bc) | V = abc |
| Cubo | D = a√3 | AL = 4a2 | AT = 6a2 | V = a3 |
2º) Pirâmides
a) Pirâmides regulares
| Desctrição | Área da base | apótema | Área da face | Área lateral | Área total | Volume |
| Base triangular regular | L2√3A = ——— 4 | L√3m =—— 6 | L.gAF = —— 2 | AL = 3AF | AT= AB + AL | AB.hV = ——— 3 |
| Base quadrangular | AB = L2 | Lm = —— 2 | L.g AF = —— 2 | AL = 4AF | AT= AB + AL | AB.hV = ——— 3 |
| Base hexagonal regular | 6L2√3A = ——— 4 | L√3m =—— 2 | L.g AF = —— 2 | AL = 6AF | AT= AB + AL | AB.hV = ——— 3 |
b) Fórmulas complementares das pirâmides regulares
• g 2 = m 2 + h 2 ( g = apótema da pirâmide, h = altura e m = apótema da base)
c) Tronco de pirâmide
Ab d 2• —— = —— AB H 2 - . h• VT = —— [AB + Ab + √AB.√Ab] 3
3º) Figuras redondas
| Descrição | Área da base | Área lateral | Área total | Volume |
| Cilindro | AB = πR2 | AL = 2πRh | AT = 2πR(h + R) | V =πR2h |
| Cone | AB = πR2 | AL = πRg | AT = πR(g + R) | πR2h V = ——— 3 |
| Esfera | * * * * | * * * * | A = 4πR2 | 4πR3 V = ——— 3 |
R = raio h = altura g = geratriz
II) EXERCÍCIOS DE REVISÃO
A) PRISMAS
1) Um prisma reto de base regular apresenta aresta da base igual a 20 cm e altura igual a 15 cm. Determine:
a) a área da base, o apótema da base, a área lateral, área total e volume considerando que a sua base é um triângulo equilátero;
a) a área da base, o apótema da base, a área lateral, área total e volume considerando que a sua base é quadrangular;
a) a área da base, o apótema da base, a área lateral, área total e volume considerando que a sua base é um hexágono regular;
2) A área da base de um prisma reto é 200 cm2 e a altura 80 cm. Calcule o seu volume.
3) Sendo a área lateral de um cubo igual 144 cm2, calcule:
a) a aresta b) a diagonal da face c) a diagonal do cubo d) a área total e) o volume
4) Sendo a aresta de um cubo igual 20 cm, calcule:
a) a área lateral b) a diagonal da face c) a diagonal do cubo d) a área total e) o volume
5) Sendo a diagonal de um cubo igual a 12√3 dm, calcule:
a) a aresta b) a diagonal da face c) a área lateral d) a área total e) o volume
6) As dimensões de um paralelepípedo são 15 cm, 8 cm e 6 cm. Calcule:
a) a diagonal
b) a área lateral
c) a área total
d) o volume
7) As dimensões de um paralelepípedo,em centrímetros, são proporcionais à 6, 4 e 2 e a diagonal 684 dm. Calcule:
a) as arestas
b) a área lateral
c) a área total
d) o volume
8) Um tanque, no formato de paralelepípedo, com dimensões de 4m, 3m e 6m de altura está com água até a altura de 3,5m. Ao se colocar uma pedra dentro deste tanque a altura da água sobe para 4m de altura. Calcule, em m3, o volume da pedra.
9) Uma grande caixa no formato de um paralelepípedo destina-se, apos cheia com água potável, encher pequenos baldes ciilíndricos com diâmetro 30cm e altura 50cm que custarão 2,50 real cada balde cheio. Determinar:
a) o nº de litros de que contém uma caiixa totalmente cheia;
b) o nº aproximado de baldes que daria para encher com a água da caixa caixa completamente cheia
c) o dinheiro ganho com a venda de uma caixa cheia de água
Considere π = 3
10) Uma picina com 10m de comprimento, 5m de largura e 2m de altura contém água até até o nível de 1,7m. Se toda a água dessa picina for colacada em outra picina de comprmento 12m e largura de 6m, qual a altura que a água ficaria nesta segunda?
B) PIRÂMIDES DE BASE REGULAR
11) Uma pirâmide de base regular apresenta aresta da base igual a 12 cm e altura igual a 10 cm. Determine:
a) a área da base, o apótema da base, a área lateral, área total e volume considerando que a sua base é um triângulo equilátero;
b) a área da base, o apótema da base, a área lateral, área total e volume considerando que a sua base é quadrangular;
c) a área da base, o apótema da base, a área lateral, área total e volume considerando que a sua base é um hexágono regular
12) Uma pirâmide tem o apótema 8 cm e o apótema da base é 6 cm. Calcule:
a) a área lateral b) a área total c) o volume
13) Pretende-se construir uma tenda feita com um tecido e na forma de uma pirâmide de base quadrangular de aresta 5m e 8m de altura. Sabendo que o preço de 1m2 equivale a 5,50 reais, calcule:
a) a quantidade de tecido necessária para se construir a tenda, em m2;
b) o valor gasto para comprar o material necessário para fazer a tenda
14) Visando abastecer a população de uma cidade com água potável, foi construído um tanque em formato de pirâmide onde a base hexagonal regular tem aresta medindo 30m e altura de 4m. O preço do litro de água é 0,20 real (20 centavos) e uma cada pessoa consome em média 50 litros de água por dia. Calcular:
a) a quantidade de litros de água deste tanque quando ele estiver completamente cheio;
b) o dinheiro gasto para encher totalmente o tanque;
c) o nº de pessoas que poderá ser abastecidas com o tanque cheio
C) EXERCÍCIOS SOBRE CILINDRO
15) Um cilindro apresenta raio da base igual a 12 cm e altura igual a 10 cm. Calcule
a) a área lateral b) a área total c) o volume d) a área da secção meridiana
16) Sabendo que a área total de um cilindro equilátero de raio da base igual a 20 cm é 600π cm2, calcule:
a) a área lateral b) a área da seção meridiana c) o volume
17) Um tanque no formato de um cilindro e de raio da base igual a 3m, contém água até a altura de 2m. esta água é retirada e colocada em outro tanque com a forma de um paralelepípedo que tem base medindo 3m x 4m. Supondo que a água neste 2º tanque não transborde, ela irá ser vendida ao custo de 2,00 reais cada garrafa plástica cilíndrica que apresenta diâmetro de 8 cm por 30 cm de altura. Considere π = 3. Calcule:
a) a altura da água no segundo tanque;
b) o número de garrafas que serão enchidas pela água do tanque;
c) o dinheiro arrecadado com a venda de toda água do tanque.
18) O volume de um cilindro equilátero apresenta volume de 432π cm3. Calcule a área lateral e total desse cilindro.
19) Um cilindro de altura 40 cm apresenta o raio igual a aresta de um cubo de volume 216π cm3. Calcule o volume do cilindro e as suas áreas lateral e total.
D) EXERCÍCIOS SOBRE CONES
20) Um cone reto apresenta raio da base igual a 6 cm e altura 8 cm. Calcule:
a) a área lateral b) a área total c) o volume
21) A área total de um cone de diâmetro da base igual a 8 cm é 36π m2. Calcule:
a) a área lateral
b) o volume
22) O volume de um cone reto de altura igual a 8 m é 288π m3. Calcule a área lateral e a área total.
23) Um tanque, feito de folhas de metal, na forma de um cone de raio da base igual a 6m e altura 8 m, completamente cheio, contém 288000 litros de água. A água é retirada deste tanque e colocada em outro tanque na forma de um cilindro, que apresenta raio da base igual a 4 m. Com esta água é enchidas garrafas de plásticos cilíndricas de raio 6cm e altura 10cm. Cada garrafa será vedido a 0,80 centavos de real. Considere π = 3 e determine:
a) a altura da água no segundo tanque;
b) o número máximo de garrafas que dá para encher com a água;
c) o valor apurado com a venda de toda a água do tanque.
d) a quantidade, em m2, de folha de aço que dá para fazer o tanque na forma de cone.
E) EXERCÍCIOS SOBRE ESFERAS
24) Para uma esfera de raio igual a 200cm, calcule a área da superfície, o volume da esfera, o volume da cunha esférica que corresponde a um ângulo de 30º e a área do fuso esférico com ângulo de 60º.
25) Uma esfera de raio R é seccionada a 60cm do centro e o raio da secção é 80cm. Calcule a área da superfície e o volume dessa esfera.
26) Um cubo de aresta 120cm está circunscrito a uma esfera completamente cheia de água. Calcule:
a) a área da superfície da esfera b) o volume da esfera c) o númer de litros de água que a esfera contém. Use π = 3
27) Se o volume de um cubo que se encontra inscrito em uma esfera é 1000 cm3, calcule o o volume da esfera, em cm3 e em ml.
28) Sabendo que a área da superfície de uma esfera é 400π m2, calcule o volume desta esfera e o volume de um cilindro de 8 m de altura que tem o mesmo raio.
29) Sabendo que o volume de uma esfera é 256π m2, calcule a área de sua superfície e a área e volume de um cilindro equilátero que possui o mesmo raio desta esfera.
